Ontbinden

Als je de opdracht krijgt om a⁴ + b⁴ te ontbinden in factoren dan
zullen de meesten die een beetje verstand hebben van wiskunde,
jou vertellen, dat het niet kan, omdat de som van twee kwadraten
niet ontbonden kan worden en a⁴ en a⁴ zijn zeker een kwadraat.

We trekken de stoute schoenen aan en doen een gok. Stel dat het als volgt zou lukken.
(a² - pab + b²)(a² + pab + b²). Daarbij is p een nader te bepalen getal.
Nu maar hopen, dat er een aantal termen zullen wegvallen.

Noem de tweede factor even F. Dan is (a² + pab + b²) = F.
(a² - pab + b²)(a² + pab + b²) =
(a² - pab + b²)F =
a²F - pabF + b²F =
a²(a² + pab + b²) - pab(a² + pab + b²) + b²(a² + pab + b²) =
(a⁴ + pa³b + a²a²) - (pa³b + p²a²b² + pab³) + (a²b² + pab³ + b⁴)

De F was niet nodig maar kon helpen.
Veel haakjes waren overbodig. Ze zijn echter voor de duidelijkheid geplaatst.
De laatste negenterm kunnen we gelukkig behoorlijk vereenvoudigen:

a⁴ + a²b² - p²a²b² + a²b² + b⁴ =
a⁴ + (2-p²)a²b² + b⁴

Als we willen, dat dit steeds gelijk is aan a⁴+ b⁴ dan moet p² = 2 zijn.
De ontbinding lukt dan als p = √2 of als p = -√2 is.

Samenvatting van de ontbinding:
a⁴ + b⁴ = (a² - ab√2 + b²)(a² + ab√2 + b²)
Dit zal voor velen een verrassing zijn.

Een snellere methode.

a⁴ + b⁴ =
a⁴ + 2(ab)² + b⁴ - 2(ab)² =
(a² + b²)² - (ab√2)² =
(a² - ab√2 + b²)(a² + ab√2 + b²)


Hier wordt niet besproken, of de gevonden factoren verder te ontbinden zijn.

Hogere machten van a en b

Ook juist is a⁴ⁿ + b⁴ⁿ = (a²ⁿ - (ab)ⁿ √2 + b²ⁿ)(a²ⁿ + (ab)ⁿ √2 + b²ⁿ)
De n is een natuurlijk getal.